数系的扩充与虚数单位 i

是什么

为了使方程 x² + 1 = 0 有解，引入虚数单位 i，规定 i² = −1，且 i 可以与实数进行四则运算，原有的运算律仍成立。

核心要点

N ⫋ Z ⫋ Q ⫋ R ⫋ C；i 的幂以 4 为周期：i⁴ⁿ = 1，i⁴ⁿ⁺¹ = i，i⁴ⁿ⁺² = −1，i⁴ⁿ⁺³ = −i

常见题型

• 看到 i 的高次幂，如 i²⁰²⁵ → 指数除以 4 看余数

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